Правило треугольника матрица

Научить ребенка делению столбиком просто. Необходимо объяснить алгоритм этого действия и закрепить пройденный материал.

• Согласно школьной программе, деление столбиком детям начинают объяснять уже в третьем классе. Ученики, которые схватывают все «на лету», быстро понимают эту тему
• Но, если ребенок заболел и пропустил уроки математики, или он не понял тему, тогда родители должны самостоятельно малышу объяснить материал. Нужно максимально доступно донести до него информацию
• Мамы и папы во время учебного процесса ребенка должны быть терпеливыми, проявляя такт по отношению к своему чаду. Ни в коем случае нельзя кричать на ребенка, если у него что-то не получается, ведь так можно отбить у него всю охоту к занятиям

Важно: Чтобы ребенок понял деление чисел, он должен досконально знать таблицу умножения. Если малыш плохо знает умножение, он не поймет деление.

Во время домашних дополнительных занятий можно пользоваться шпаргалками, но ребенок должен выучить таблицу умножения, прежде чем, приступать к теме «Деление».

Итак, как объяснить ребенку деление столбиком:

• Постарайтесь сначала объяснить на маленьких цифрах. Возьмите счетные палочки, например, 8 штук
• Спросите у ребенка, сколько пар в этом ряду палочек? Правильно — 4. Значит, если разделить 8 на 2, получится 4, а при делении 8 на 4 получится 2
• Пусть ребенок сам разделит другое число, например, более сложное: 24:4
• Когда малыш освоил деление простых чисел, тогда можно переходить к делению трехзначных чисел на однозначные

Деление всегда дается детям немного сложнее, чем умножение. Но усердные дополнительные занятия дома помогут малышу понять алгоритм этого действия и не отставать от сверстников в школе.

Начинайте с простого — деление на однозначное число:

Важно: Просчитайте в уме, чтобы деление получилось без остатка, иначе ребенок может запутаться.

Например, 256 разделить на 4:

• Начертите на листе бумаги вертикальную линию и разделите ее с правой части пополам. Слева напишите первую цифру, а справа над чертой вторую
• Спросите у малыша, сколько четверок помещается в двойке — нисколько
• Тогда берем 25. Для наглядности отделите это число сверху уголком. Опять спросите у ребенка, сколько помещается четверок в двадцати пяти? Правильно — шесть. Пишем цифру «6» в правом нижнем углу под линией. Ребенок должен использовать таблицу умножения для правильного ответа
• Запишите под 25 цифру 24, и подчеркните, чтобы записать ответ — 1
• Опять спрашивайте: в единице сколько помещается четверок — нисколько. Тогда сносим к единице цифру «6»
• Получилось 16 — сколько четверок помещается в этом числе? Правильно — 4. Записываем «4» рядом с «6» в ответе
• Под 16 записываем 16, подчеркиваем и получается «0», значит мы разделили правильно и ответ получился «64»

Письменное деление на двузначное число

Когда ребенок освоил деление на однозначное число, можно двигаться дальше. Письменное деление на двузначное число чуть сложнее, но если малыш поймет, как производится это действие, тогда ему не составит труда решать такие примеры.

Важно: Снова начинайте объяснять с простых действий. Ребенок научится правильно подбирать цифры и ему будет легко делить сложные числа.

Выполните вместе такое простое действие: 184:23 — как нужно объяснять:

• Разделим сначала 184 на 20, получается примерно 8. Но мы не пишем цифру 8 в ответ, так как это пробная цифра
• Проверяем, подходит 8 или нет. Умножаем 8 на 23, получается 184 — это именно то число, которое у нас стоит в делителе. Ответ будет 8

Важно: Чтобы ребенок понял, попробуйте вместо восьмерки взять 9, пусть он умножит 9 на 23, получается 207 — это больше, чем у нас в делителе. Цифра 9 нам не подходит.

Так постепенно малыш поймет деление, и ему будет легко делить более сложные числа:

• Разделим 768 на 24. Определите первую цифру частного — делим 76 не на 24, а на 20, получается 3. Записываем 3 в ответ под чертой справа
• Под 76 записываем 72 и проводим линию, записываем разность — получилось 4. Эта цифра делится на 24? Нет — сносим 8, получается 48
• Цифра 48 делится на 24? Правильно — да. Получается 2, записываем эту цифру в ответ
• Получилось 32. Теперь можно проверить — правильно ли мы выполнили действие деления. Сделайте умножение в столбик: 24х32, получается 768, значит все правильно

Если ребенок научился выполнять деление на двузначное число, тогда необходимо перейти к следующей теме. Алгоритм деления на трехзначное число такой же, как и алгоритм деления на двузначное число.

Например:

• Разделим 146064 на 716. Берем сначала 146 — спросите у ребенка делится это число на 716 или нет. Правильно — нет, тогда берем 1460
• Сколько раз число 716 поместится в числе 1460? Правильно — 2, значит пишем эту цифру в ответе
• Умножаем 2 на 716, получается 1432. Записываем эту цифру под 1460. Получается разность 28, записываем под чертой
• Сносим 6. Спросите у ребенка — 286 делится на 716? Правильно — нет, поэтому пишем 0 в ответе рядом с 2. Сносим еще цифру 4
• Делим 2864 на 716. Берем по 3 — мало, по 5 — много, значит получается 4. Умножаем 4 на 716, получается 2864
• Запишите 2864 под 2864, получается в разности 0. Ответ 204

Важно: Для проверки правильности выполнения деления, умножьте вместе с ребенком в столбик — 204х716=146064. Деление выполнено правильно.

Пришло время ребенку объяснить, что деление может быть не только нацело, но и с остатком. Остаток всегда меньше делителя или равен ему.

Деление с остатком следует объяснять на простом примере: 35:8=4 (остаток 3):

• Сколько восьмерок помещается в 35? Правильно — 4. Остается 3
• Делится эта цифра на 8? Правильно — нет. Получается, остаток 3

После этого ребенок должен узнать, что можно продолжать деление, дописывая 0 к цифре 3:

• В ответе стоит цифра 4. После нее пишем запятую, так как добавление нуля говорит о том, что число будет с дробью
• Получилось 30. Делим 30 на 8, получается 3. Записываем в ответ, а под 30 пишем 24, подчеркиваем и пишем 6
• Сносим к цифре 6 цифру 0. Делим 60 на 8. Берем по 7, получается 56. Пишем под 60 и записываем разность 4
• К цифре 4 дописываем 0 и делим на 8, получается 5 — записываем в ответ
• Вычитаем 40 из 40, получается 0. Итак, ответ: 35:8=4,375

Совет: Если ребенок что-то не понял — не злитесь. Пусть пройдет пару дней и снова постарайтесь объяснить материал.

Уроки математики в школе также будут закреплять знания. Пройдет время и малыш будет быстро и легко решать любые примеры на деление.

Алгоритм деления чисел заключается в следующем:

• Сделать прикидку числа, которое будет стоять в ответе
• Найти первое неполное делимое
• Определить число цифр в частном
• Найти цифры в каждом разряде частного
• Найти остаток (если он есть)

По такому алгоритму выполняется деление как на однозначные числа, так и на любое многозначное число (двузначное, трехзначное, четырехзначное и так далее).

Занимаясь с ребенком, чаще ему задавайте примеры на выполнение прикидки. Он должен быстро в уме подсчитать ответ. Например:

• 1428:42
• 2924:68
• 30296:56
• 136576:64
• 16514:718

Для закрепления результата можно использовать такие игры на деление:

• «Головоломка». Напишите на листе бумаги пять примеров. Только один из них должен быть с правильным ответом.

Условие для ребенка: Среди нескольких примеров, только один решен правильно. Найди его за минуту.

: Развивающий мультфильм Математика Изучение наизусть таблицы умножения и деления на 2

Рассмотрим простой пример:15:5=3

В этом примере натуральное число 15 мы поделили нацелона 3, без остатка.

Иногда натуральное число полностью поделить нельзя нацело. Например, рассмотрим задачу:
В шкафу лежало 16 игрушек. В группе было пятеро детей. Каждый ребенок взял одинаковое количество игрушек. Сколько игрушек у каждого ребенка?

Решение:
Поделим число 16 на 5 столбиком получим:

Мы знаем, что 16 на 5 не делиться. Ближайшее меньшее число, которое делиться на 5 это 15 и 1 в остатке. Число 15 мы можем расписать как 5⋅3. В итоге (16 – делимое, 5 – делитель, 3 – неполное частное, 1 — остаток). Получили формулуделения с остатком,по которой можно сделать проверку решения.

a=b⋅c+d
a– делимое,
b– делитель,
c– неполное частное,
d– остаток.

Ответ: каждый ребенок возьмет по 3 игрушки и одна игрушка останется.

Остаток от деления

Остаток всегда должен быть меньше делителя.

Если при делении остаток равен нулю, то это значит, что делимое делиться нацело или без остатка на делитель.

Если при делении остаток больше делителя, это значит, что найденное число не самое большое. Существует число большее, которое поделит делимое и остаток будет меньше делителя.

Вопросы по теме “Деление с остатком”:
Остаток может быть больше делителя?
Ответ: нет.

Остаток может быть равен делителю?
Ответ: нет.

Как найти делимое по неполному частному, делителю и остатку?Ответ: значения неполного частного, делителя и остатка подставляем в формулу и находим делимое. Формула:a=b⋅c+d

Пример №1:
Выполните деление с остатком и сделайте проверку: а) 258:7 б) 1873:8

Решение:а) Делим столбиком:

258 – делимое,7 – делитель,36 – неполное частное,

6 – остаток. Остаток меньше делителя 6

Источник: https://1kingvape.ru/chastnyjj-dom/treugolnyi-metod-resheniya-matricy-kak-naiti-opredelitel.html

Определитель матрицы

Определитель матрицы или детерминант матрицы – это одна из основных численных характеристик квадратной матрицы, применяемая при решении многих задач.

Определение.

Определителем матрицы n×n будет число:

det(A) =	Σ	(-1)N(α1,α2,…,αn)·aα11·aα22·…·aαnn
(α1,α2,…,αn)

где (α1,α2,…,αn) – перестановка чисел от 1 до n, N(α1,α2,…,αn) – число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n.

Обозначение

Определитель матрици A обычно обозначается det(A), |A|, или ∆(A).

1. Определитель единичной матрицы равен единице:

   det(E) = 1

2. Определитель матрицы с двумя равными строками (столбцами) равен нулю.

3. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

4. Определитель матрицы, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.

5. Определитель матрицы равен нулю если две (или несколько) строк (столбцев) матрицы линейно зависимы.

6. При транспонировании значение определителя матрицы не меняется:

   det(A) = det(AT)

7. Определитель обратной матрицы:

   det(A-1) = det(A)-1

8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число.

9. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить линейную комбинации других строк (столбцов).

10. Если поменять местами две строки (столбца) матрицы, то определитель матрицы поменяет знак.

11. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя:

    a11a12…a1n a21a22…a2n …. k·ai1k·ai2…k·ain …. an1an2…ann = k· a11a12…a1n a21a22…a2n …. ai1ai2…ain …. an1an2…ann

12. Если квадратная матрица n-того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в n-той степени:

    B = k·A   =>   det(B) = kn·det(A)

    где A матрица n×n, k – число.

13. Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем:

    a11a12…a1n a21a22…a2n …. bi1 + ci1bi2 + ci2…bin + cin …. an1an2…ann = a11a12…a1n a21a22…a2n …. bi1bi2…bin …. an1an2…ann + a11a12…a1n a21a22…a2n …. ci1ci2…cin …. an1an2…ann

14. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

15. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц:

    det(A·B) = det(A)·det(B)

Правило:

Для матрицы первого порядка значение определителя равно значению элемента этой матрицы:

∆ = |a11| = a11

Правило:

Для матрицы 2×2 значение определителя равно разности произведений элементов главной и побочной диагоналей:

Пример 1.

Найти определитель матрицы A

Решение:

det(A) =

= 5·1 – 7·(-4) = 5 + 28 = 33

Правило:

Для матрицы 3×3 значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.

∆ =

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

=

=  a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 – a13·a22·a31 – a11·a23·a32 – a12·a21·a33

Правило:

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком “плюс”; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком “минус”:

∆ =

a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32

=

=  a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 – a13·a22·a31 – a11·a23·a32 – a12·a21·a33

Пример 2.

Найти определитель матрицы A = 571 -410 203

Решение:

det(A) = 571 -410 203 = 5·1·3 + 7·0·2 + 1·(-4)·0 – 1·1·2 – 5·0·0 – 7·(-4)·3 = 15 + 0 + 0 – 2 – 0 + 84 = 97

Правило:

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения:

n
det(A) =	Σ	aij·Aij	– разложение по i-той строке
j = 1

Правило:

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:

n
det(A) =	Σ	aij·Aij	– разложение по j-тому столбцу
i = 1

При разложение определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов.

Пример 3.

Найти определитель матрицы A

Решение: Вычислим определитель матрицы разложив его по первому столбцу:

= 2·(-1)1+1· 21 11 + 0·(-1)2+1· 41 11 + 2·(-1)3+1· 41 21 =

= 2·(2·1 – 1·1) + 2·(4·1 – 2·1) = 2·(2 – 1) + 2·(4 – 2) = 2·1 + 2·2 = 2 + 4 = 6

Пример 4.

Найти определитель матрицы A

A = 2411 0200 2113 4023

Решение: Вычислим определитель матрицы, разложив его по второй строке (в ней больше всего нулей):

det(A) = 2411 0200 2113 4023 = – 0· 411 113 023 + 2· 211 213 423 – 0· 241 213 403 + 0· 241 211 402 =

= 2·(2·1·3 + 1·3·4 + 1·2·2 – 1·1·4 – 2·3·2 – 1·2·3) = 2·(6 +12 + 4 – 4 – 12 – 6) = 2·0 = 0

Приведение определителя к треугольному виду

Правило:

Используя свойства определителя для элементарных преобразований над строками и столбцами 8 – 11, определитель приводится к треугольному виду, и тогда его значение будет равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Пример 5.

Найти определитель матрицы A приведением его к треугольному виду

A = 2411 0210 2113 4023

Решение:

det(A) = 2411 0210 2113 4023

Сначала получим нули в первом столбце под главной диагональю. Для этого отнимем от 3-тей строки 1-ую строку, а от 4-той строки 1-ую строку, умноженную на 2:

det(A) = 2411 0210 2 – 21 – 41 – 13 – 1 4 – 2·20 – 4·22 – 1·23 – 1·2 = 2411 0210 0-302 0-801

Получим нули во втором столбце под главной диагональю. Для этого поменяем местами 2-ой и 3-тий столбцы (при этом детерминант сменит знак на противоположный):

det(A) = – 2141 0120 00-32 00-81

Получим нули в третьем столбце под главной диагональю. Для этого к 3-ему столбцу добавим 4-тий столбец, умноженный на 8:

det(A) = – 214 + 1·81 012 + 0·80 00-3 + 2·82 00-8 + 1·81 = – 21121 0120 00132 0001 = -2·1·13·1 = -26

Теорема Лапласа

Теорема:

Пусть ∆ – определитель n-ого порядка. Выберем в нем произвольные k строк (столбцов), причем k 

Источник: https://ru.onlinemschool.com/math/library/matrix/determinant/

Определители матриц правило треугольника — Твой юрист

Таким образом, определитель матрицы остается без изменения, если:

• транспонировать матрицу;
• прибавить к какой-либо строке другую строку, умноженную на любое число.

Задание 1. Вычислить определитель, разлагая его по строке или столбцу. Решение:xml:xls Пример 1:xml:xlsЗадание 2. Вычислить определитель двумя способами: а) по правилу «треугольников»; б) разложением по строке.Решение. а) Слагаемые, входящие в со знаком «минус», строятся таким же образом относительно побочной диагонали.

Определитель матрицы: алгоритм и примеры вычисления определителя матрицы

Определитель (детерминант) матрицы — некоторое число, с которым можно сопоставить любую квадратную матрицу А = ( a i j ) n × n .|А|, ∆ , det A — символы, которыми обозначают определитель матрицы.Способ вычисления определителя выбирают в зависимости от порядка матрицы.Определитель матрицы 2-го порядка вычисляют по формуле:d e t A = 1 — 2 3 1 = 1 × 1 — 3 × ( — 2 ) = 1 + 6 = 7

Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника

Чтобы найти определитель матрицы 3-го порядка, необходимо одно из правил:

• правило треугольника;
• правило Саррюса.

Как найти определитель матрицы 3-го порядка по методу треугольника?а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 — a 31 × a 22 × a 13 — a 21 × a 12 × a 33 — a 11 × a 23 × a 32А = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1d e t A = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1 = 1 × 2 × ( — 2 ) + 1 × 3 × 1 + 4 × 0 × 5 — 1 × 2 × 4 — 0 × 3 × ( — 1 ) — 5 × 1 × 1 = ( — 2 ) + 3 + 0 — 8 — 0 — 5 = — 12

Правило Саррюса

Чтобы вычислить определитель по методу Саррюса, необходимо учесть некоторые условия и выполнить следующие действия:

• дописать слева от определителя два первых столбца;
• перемножить элементы, которые расположены на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, взяв произведения со знаком «+»;
• перемножить элементы, которые расположены на побочных диагоналях и параллельных им, взяв произведения со знаком «—».

А = 1 3 4 0 2 1 — 2 5 — 1 1 3 0 2 — 2 5 = 1 × 2 × ( — 1 ) + 3 × 1 × ( — 2 ) + 4 × 0 × 5 — 4 × 2 × ( — 2 ) — 1 × 1 × 5 — 3 × 0 × ( — 1 ) = — 2 — 6 + 0 + 16 — 5 — 0 = 3

Методы разложения по элементам строки и столбца

Чтобы вычислить определитель матрицу 4-го порядка, можно воспользоваться одним из 2-х способов:

• разложением по элементам строки;
• разложением по элементам столбца.

Представленные способы определяют вычисление определителя n как вычисление определителя порядка n-1 за счет представления определителя суммой произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.Разложение матрицы по элементам строки:d e t A = a i 1 × A i 1 + a i 2 × A i 2 + . . . + а i n × А i nРазложение матрицы по элементам столбца:d e t A = а 1 i × А 1 i + а 2 i × А 2 i + . . . + а n i × А n iЕсли раскладывать матрицу по элементам строки (столбца), необходимо выбирать строку (столбец), в которой(-ом) есть нули.А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0

• раскладываем по 2-ой строке:

А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 2 × ( — 1 ) 3 × 1 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0 = — 2 × 1 — 1 3 4 5 1 2 1 0 + 1 × 0 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0

• раскладываем по 4-му столбцу:

А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 3 × ( — 1 ) 5 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 + 1 × ( — 1 ) 7 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1 = — 3 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 — 1 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1

Свойства определителя

• если преобразовывать столбцы или строки незначительными действиями, то это не влияет на значение определителя;
• если поменять местами строки и столбцы, то знак поменяется на противоположный;
• определитель треугольной матрицы представляет собой произведение элементов, которые расположены на главной диагонали.

Пример 6

А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5

d e t А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5 = 1 × 5 × 2 = 10

Определитель матрицы, который содержит нулевой столбец, равняется нулю.

www.zaochnik.com

Вычисление определителя разложением по строкам

Пример . Рассмотрим все виды разложений по строкам: по первой, по второй и по третьей. Запишем матрицу в виде:

Минор для (1,1):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
∆1,1 = (2 • 3-0 • 1) = 6Минор для (1,2):

Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 2-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
∆1,2 = (3 • 3-(-2 • 1)) = 11Минор для (1,3):

Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 3-й столбец.

Теперь разложим матрицу по второй строке. Значение определителя матрицы не должно измениться. Минор для (2,1):

Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
∆2,1 = (3 • 3-0 • (-1)) = 9Минор для (2,2):

Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 2-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
∆2,2 = (2 • 3-(-2 • (-1))) = 4Минор для (2,3):

Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 3-й столбец.

Покажем, как происходит разложение по третьей строке. Значение определителя матрицы не должно измениться. Итак, минор для (3,1):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
∆3,1 = (3 • 1-2 • (-1)) = 5Минор для (3,2):

Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 2-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
∆3,2 = (2 • 1-3 • (-1)) = 5Минор для (3,3):

Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 3-й столбец.

Выводы . Как видим, значение определителя матрицы не зависит от способа его вычисления.

Пример №2 . Является ли система арифметических векторов e1=(9;6;0),e2=(6;16;18),e3=(0;-10;-15) линейно независимой? Ответ обоснуйте.
Решение. Находим определитель матрицы. Если он отличен от нуля, то система, составленная из векторов, линейно независима. Если определитель равен нулю, система является линейно зависимой.

math.semestr.ru

Datalife Engine Demo

В этой статье мы познакомимся с очень важным понятием из раздела линейной алгебры, которое называется определитель.

Сразу хотелось бы отметить важный момент: понятие определитель действительно только для квадратных матриц (число строк = числу столбцов), у других матриц его нет.

4. А теперь рассмотрим примеры с действительными числами:

Правило треугольника — это способ вычисления определителя матрицы, который предполагает его нахождение по следующей схеме:

Как вы уже поняли, метод был назван правилом треугольника в следствии того, что перемножаемые элементы матрицы образуют своеобразные треугольники.

Для того, чтобы понять это лучше, разберём такой пример:

А теперь рассмотрим вычисление определителя матрицы с действительными числами правилом треугольника:

Для закрепления пройденного материала, решим ещё один практический пример:

3. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

4. Определитель равен нулю, если элементы одной строки равны соответствующим элементам другой строки (для столбцов также). Самый простой пример этого свойства определителей:

5. Определитель равен нулю, если его 2 строки пропорциональны (также и для столбцов). Пример (1 и 2 строка пропорциональны):

6. Общий сомножитель строки (столбца) может быть вынесен за знак определителя.

7) Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одну и ту же величину. Рассмотрим это на примере:

vysshaya-matematika.ru

Источник: https://historyblog.ru/opredeliteli-matric-pravilo-treugol/

Правило Саррюса (правило треугольника)

Пример1:

=–2×1×(–5)+ 5×4×(–4)+ 3×2×(–3)–(–3)×1× (–4)–4×2×

(–2)–5×3 × (–5)= 10 –80–18–12+16 +75 = –9.

Пример2:

=45 + 8 ‒ 24 ‒ 60 + 6 ‒ 24 = ‒ 49.

МиноромMijэлемента aijквадратнойматрицы n‒ го порядка называется определитель(n‒ 1) ‒ го порядка, полу­ченный из даннойматрицы вычеркиванием i‒ йстроки и j‒ гостол­бца, на пересечении которых стоитданный элемент.

Пример:

;

M11== 15 + 2 = 17;

M12== –6–6= –12;и т. д. всего 9 миноров.

Алгебраическимдополнением Aijэлементаaijквадратной матрицы называется егоминор,взятый со знаком (‒1)i+j.

Пример:

А11 =(–1)1+1×M11=17.

А12 =(–1)1+2×M12 = ‒ 1×M12= 12.

А13 =(–1)1+3×=4 ‒ 30= – 26; и т.д.

Свойства определителей

1.Определитель равен нулю, если содержит:

-нулевую строку или нулевой столбец;

-две одинаковые строки (столбца);

-две пропорциональных строки (столбца).

Пример:

=0; = 0;= 0;III= I× (-3).

2.Общий множитель элементов любой строки(столбца) можно выносить за знакопределителя.

Пример:

=2×= 2×(30+24+4‒24+8+15) = 2×57= 114.

3.Определитель не изменится, если кэлементам любой строки (столбца) прибавитьэлементы другой строки (столбца)умноженные на одно число.

Пример:

I× 5 + II; I × (‒2) + III; I × (‒ 4) + IV;

== 1×(–1)1+3×.

Вырожденные и невырожденные матрицы, обратная матрица

МатрицаА-1называетсяобратной к матрице A,если при умножении ее на матрицу A,как справа, так и слева, получитсяединичная матрица.

А-1×A=A×А-1=E

Матрицаназывается невырожденной,если ее определитель не равен 0, иназывается вырожденной,если ее определитель равен 0.

Теорема.

Обратнаяматрица А-1существуеттолько тогда, когда матрица невырожденная,т.е. |A|≠ 0.

Алгоритмнахождения.

1.Найти определитель матрицы А.

Если│A│=0, то обратная матрица не существует,если │A│≠0, то перейти ко второму шагу.

2.Найти матрицу AT,транспонированную к матрице А.

3.Найти алгебраические дополненияэлементов матрицы ATи составить из них матрицу Ã,которая называется присоединенной.

Ã=

4.Обратную матрицу найти по формуле:

5.Сделать проверку А–1×A= E

Решение матричных уравнений

Матричное уравнение имеет вид:

A× Х= B

Умножимобе части уравнения на матрицу А–1слева:

А-1×A×Х = А-1×В.

Таккак А-1×А=Е,тоЕ×Х = А-1×В.

ТаккакЕ× Х=X,тоХ= А-1×В

Пример:

Дано:

А= ;

В= ;

Найти:

X‒?

Решение:

1)│А│=

2)AT=.

3)

Ã=.

4)А-1= × Ã =×=

Х=А-1×B=

Ответ:

Ранг матрицы, нахождение ранга матрицы

Рангомматрицы называется наивысший порядокне равных нулю миноров этой матрицы.

Обозначается rang(A)или r(A).

Теорема1.Ранг матрицы не превосходит наименьшегоиз ее размеров.

r(A)≤ min (m; n)

Пример:

А2×3= ;

r(A)≤ min(2; 3) = 2, т. е. согласно теореме r(A)≤ 2.

=3 + 24 = 27 0; r(A)= 2 (порядок ненулевого минора).

Теорема2.Ранг квадратной матрицы n-гопорядка равен ее порядку, если она невырожденная.

Примеры:

1)А3×3= ;r(A)≤ 3.

│А│== 24 + 0 – 4 + 4 – 18 – 0 = 6 0 матрица не вырожденнаяr(A)= 3.

2)А3×3=;│А│=0, т.к.III = I × (– 3) r(A)< 3.

=0 + 5 = 5 0 r(A)= 2 (порядок ненулевого минора).

Теорема3.Ранг матрицы не изменяется при элементарныхпреобразованиях матрицы.

Источник: https://StudFiles.net/preview/6055013/page:3/